统计学之样本方差与总体方差

参考资料：https://www.cnblogs.com/zzdbullet/p/10087196.html

1. 方差（variance）的定义

方差是用来度量随机变量和其数学期望（均值）之间的偏离程度的一个统计量。

统计学中（所有样本）的总体方差公式：

$$\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N} \tag{1-1}$$

其中$\sigma^2$是总体方差，$X$是随机变量，$\mu$是总体均值（有时也用$\bar X$表示），$N$是总体样本数。这里提到的样本，是基于样本数量$N$（几乎）无限的假设。对应的各个统计量，也是所有的样本所服从的分布的真实参数，是客观正真实的。

2. 样本方差

现实情况中，我们往往得不到所有的无限样本，而只能抽样出一定数量的有限样本。通过有限的样本来计算的方差，称为样本方差，公式如下：

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\tag{2-1}$$

注意上式的系数和总体方差公式里面的系数不一样，分母是$n-1$。为什么不用$n$作为分母呢？这是因为如果沿用总体方差的公式得到的样本方差，是对方差的一个有偏估计。用$n$作为分母的样本方差公式，才是对方差的无偏估计。

3. 总体方差公式的有偏性证明

$$\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[(X_i-\mu)+(\mu-\bar X)\right]^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)(\mu-\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+2(\bar X-\mu)(\mu-\bar X)+(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-(\mu-\bar X)^2\\ \tag{3-1} \end{align*}$$

换言之，除非正好有$\bar X=\mu$，否则一定会有

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2<\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\tag{3-2}$$

上式的右边是对方差的正确估计，左边是有偏估计。
产生这一偏差的本质是因为均值用的是样本均值$\bar X$。这将导致采样出来的样本之间不是完全相互独立的，自由度从$n$降为了$n-1$。（注意，一个好的采样有两点要求：随机采样，并且样本之间是相互独立的）这是因为，给定$\bar X$和任意$n-1$个样本，就能确定剩下的一个样本，也即只有$n-1$个样本是完全相互独立的，自由度为$n-1$。

4. 样本方差公式分母为n-1的推导

在正式推导之前，先给几个公式作为铺垫：

1. 方差计算公式： $$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\tag{4-1}$$
2. 均值的均值： $$\begin{align*} E(\bar X)&=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)\\ &=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^{n}X_i)\\ &=E(X_i)\\ &=\bar X\tag{4-4} \end{align*}$$
3. 均值的方差 $$\begin{align*} D(\bar X)&=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^{n}X_i)\\ &=\frac{1}{n}D(X_i)\\ \tag{4-5} \end{align*}$$

对于没有修正的方差计算公式，计算其期望：

$$\begin{align*} E(S^2)&=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-\frac{2}{n}(X_i)(\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar X)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-2(\bar X)^2+(\bar X)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-(\bar X)^2\right)\\ &=E((X_i)^2)-E((\bar X)^2)\\ &=D(X_i)+\left(E(X_i)\right)^2-\left(D(\bar X)+\left(E(\bar X)\right)^2\right) \tag{4-6} \end{align*}$$

结合{4-4}和{4-5}，可将{4-6}化简为

$$\begin{align*} E(S^2)&=D(X_i)-\frac{1}{n}D(X_i)\\ &=\frac{n-1}{n}D(X_i)\\ &=\frac{n-1}{n}\sigma^2\\ \tag{4-7} \end{align*}$$

要使样本方差的期望等于总体方差，就需要进行修正，也即给样本方差乘上$\frac{n}{n-1}$
因此得到修正后的样本方差公式:

$$\begin{align*} S^2&=\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\right)\\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\\ \tag{4-8} \end{align*}$$

推导完毕！