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https://jackwish.net/2019/neural-network-quantization-introduction-chn.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/149659607

0. 前言

近年来，基于神经网络的深度学习在图像处理、自然语言处理、语音识别等领域取得了显著效果。一般情况下，一个神经网络模型越大（一般指参数量越大），模型的拟合能力更强，准确度越高。这将进一步导致运行模型时需要的内存（包内存容量和内存带宽）、磁盘存储消耗增大，推理时延和功耗也会变大，从而限制模型的工业化落地。
为了解决这个问题，可以从两方面来下手：

从原理上设计更高效地网络结构，即参数量更少的模型，并保持精度下降可以接受。
不改变原有模型结构，而是对已有的模型进行参数压缩。

1. 量化压缩方法简介

量化压缩就是上一章节中的第二种解决方案，即对已有的模型进行参数压缩。所谓量化，就是用精度更低的类型来存储权重参数。例如，通常情况下模型默认以float32类型变量来存储权重，低精度就是以float16，int8甚至更低精度的类型来存储。最极端的情况下，可以采用一个bit来存储，也即二值神经网络。工业界中常采用的是int8类型。
在训练过程中，一般还是全精度（float32）类型，到了推理阶段，则有两种方案：一种是所有算子都支持量化后的类型的数据运算（以int8为例），因此模型的全过程中数据流都是int8；另一种是数据流仍是float32，每个算子前后分别有quantize层和dequantize层用以将float32转换为int8或者反过来。

2. 量化压缩原理

2.1. 定点数与浮点数

在计算机的存储中，int属于定点数，float和double属于浮点数。定点数与浮点数的介绍见https://www.jianshu.com/p/d39fb5792ac8
浮点数的存储与转换方式详解见https://www.cnblogs.com/lan0725/p/11515584.html
int8的值域为[-128,127],取值个数为$2^{8};$float32的值域为$[(2^{-23}-2)\times 2^{127},(2-2^{-23})\times 2^{127}]$,取值个数约为$2^{32}$。int8在整个值域上的精度分布是均匀的，而float32不是均匀的,0附近的精度越高，越往值域区间两边精度越低。这是因为，在给定指数时，float32在此指数对应的区间内数值个数是一定的，如下图所示（图片来源https://jackwish.net/2019/neural-network-quantization-introduction-chn.html）
在这里插入图片描述

图2.1 float类型的数值个数分布

2.2. 将浮点数量化为定点数

量化压缩的过程本质上是一个一个区间放缩到另一个区间的过程，这里仅讨论线性放缩:

$x_{quantized}=round(x_{float}/x_{scale}+x_{zero\_point})\tag{2-1}$

round表示取整
首先确定放缩因子：

$x_{scale}=\frac{x_{float}^{max}-x_{float}^{min}}{x_{quantized}^{max}-x_{quantized}^{min}}\tag{2-2}$

而

$(x_{quantized}^{max}-x_{quantized})\times x_{scale}=(x_{float}^{max}-x_{float})\tag{2-3}$

所以：

$x_{quantized}=x_{float}/x_{scale}+x_{quantized}^{max}-x_{float}^{max}/x_{scale}\tag{2-4}$

也即：

$x_{zero\_point}=x_{quantized}^{max}-x_{float}^{max}/x_{scale}\tag{2-5}$

在工程中，int8可能会取[0,255] (无符号整数)

有时float类型的极大值和极小值会太极端，从而使得放缩因子太大，导致最后量化后的结果太集中于某一个小的子区间，浪费了其他部分的值域空间。这时，可以读float类型的极大值极小值进行clip。例如，认为设为-1.0和1.0.

这里留一个小彩蛋，为什么（2-3)里面不用$x-x^{min}$来与缩放因子相乘，而是采用$x-x^{max}$呢？虽然从数学上是等价的，但是工程实现上的效果会有点不一样，读者可以自己思考一下